Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −y·exy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 1).

f(x, y) = −y·exyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Facile
xyx = 3y = 3y = 2332

Calculez I = ∫03 ∫23 (3y + 2) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3.

f = 3y + 20 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy13∇fP

Pour f(x, y) = 2xy³ + 2x² − 5y² + 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 3), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2xy³ + 2x² − 5y² + 4xyP = (1, 3)
|∇f| =
4.Moyen
xy−2−2P

Le plan tangent à z = −x³y² − x² + 5y³ + 4xy au point où (x, y) = (−2, −2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −x³y² − x² + 5y³ + 4xy(a, b) = (−2, −2)
c =
5.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
6.Difficile
xyx = 1,5y = x1,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫y1,5 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 1) = −29,56
  2. 2. I = 28,5
  3. 3. |∇f| = 75,39
  4. 4. c = −60
  5. 5. I = 0,4207
  6. 6. I = 0,3462

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