Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile
xyx = 1x = 4y = 2142

Calculez I = ∫14 ∫02 (2x·ey) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2.

f = 2x·ey1 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = 5 sin(−2x − 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 0,5).

f(x, y) = 5 sin(−2x − 2y)P = (1, 0,5)
fxy(1, 0.5) =
3.Moyen
xy−21P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −4x³y² + 4x² + 5y³ − 3xy en (−2, 1) pour approcher f(−2,1, 1,1). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −4x³y² + 4x² + 5y³ − 3xy(a, b) = (−2, 1)(x, y) = (−2,1, 1,1)
L =
4.Moyen
xy0,51∇fP

Pour f(x, y) = −y·e3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −y·e3xyP = (0,5, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xyx = 1,5y = x1,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫y1,5 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xy−20−20(0, 0)(−2, −2)

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 6xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. I = 95,84
  2. 2. fxy(1, 0.5) = 2,822
  3. 3. L = 74,2
  4. 4. |∇f| = 17,5
  5. 5. I = 0,389
  6. 6. D = −36

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