Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 2x²e0,5y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 2).

f(x, y) = 2x²e0,5yP = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.Facile
xy−21P

Pour f(x, y) = x²y³ − 3x² + 3y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, 1).

f(x, y) = x²y³ − 3x² + 3y³ + 3xyP = (−2, 1)
fx(−2, 1) =
3.Moyen
xy−4−20−20vP

Pour f(x, y) = xy³ − 5x³ + y³ + xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −1) dans la direction de v = (−3, −2).

f(x, y) = xy³ − 5x³ + y³ + xyP = (−1, −1)v = (−3, −2)
Duf =
4.Moyen
xy0,52P

Le plan tangent à z = 5 sin(−3x − 3y) au point où (x, y) = (0,5, 2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 5 sin(−3x − 3y)(a, b) = (0,5, 2)
c =
5.Difficile
xy21

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = x² + y²1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
  1. 1A (−2, −2)
  2. 2B (2, 2)
  3. 3C (0, 0)

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, 2) = −5,437
  2. 2. fx(−2, 1) = 11
  3. 3. Duf = 14,7
  4. 4. c = 8,309
  5. 5. I = 23,56
  6. 6. C (0, 0)

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