Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 3y = 232

Calculez I = ∫03 ∫02 (−y − 2) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2.

f = −y − 20 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile
xy22P

Pour f(x, y) = −3x³y² + 5x² − 4y³, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, 2).

f(x, y) = −3x³y² + 5x² − 4y³P = (2, 2)
fx(2, 2) =
3.Moyen
xy0,52P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = sin(−x + 2y) en (0,5, 2) pour approcher f(0,55, 1,8). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = sin(−x + 2y)(a, b) = (0,5, 2)(x, y) = (0,55, 1,8)
L =
4.Moyen
xy−202024PQ

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(0,5, 2) dans la direction de Q(−2,5, 1).

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (0,5, 2)Q = (−2,5, 1)
Duf =
5.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (−2, −2)
  3. 3C (2, 2)
6.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =

Corrigé

  1. 1. I = −18
  2. 2. fx(2, 2) = −124
  3. 3. L = 0,07062
  4. 4. Duf = −1,042
  5. 5. A (0, 0)
  6. 6. I = 0,9929

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