Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5xy + x² − 2y², trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−2, 1).

f(x, y) = 5xy + x² − 2y²P = (−2, 1)
fyy(−2, 1) =
2.Facile
xy33P

Pour f(x, y) = 5xy³ + x³ + 5y² − 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (3, 3).

f(x, y) = 5xy³ + x³ + 5y² − 4xyP = (3, 3)
fy(3, 3) =
3.Moyen

z = 4x³y + 2x³ − 3y³ + 2xy avec x = −t et y = −2t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = 4x³y + 2x³ − 3y³ + 2xyx = −ty = −2t² + 1t = 1
dz/dt =
4.Moyen
xy−4−20−2−10vP

Pour f(x, y) = 2 sin(2x − 3y), trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −1) dans la direction de v = (−3, −1).

f(x, y) = 2 sin(2x − 3y)P = (−1, −1)v = (−3, −1)
Duf =
5.Difficile
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy a un point critique en (−1, −1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 3xyP = (−1, −1)
D =
6.Difficile
xyy = xy = x²11

Calculez I = ∬R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = x.

y = x²y = xf = x
I =

Corrigé

  1. 1. fyy(−2, 1) = −4
  2. 2. fy(3, 3) = 423
  3. 3. dz/dt = 68
  4. 4. Duf = −1,025
  5. 5. D = 27
  6. 6. I = 0,08333

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