Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy21P

Pour f(x, y) = 2x³e2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, 1).

f(x, y) = 2x³e2yP = (2, 1)
fy(2, 1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 1).

f(x, y) = −y·e2xyP = (1, 1)
fxy(1, 1) =
3.Moyen

z = 3 sin(−x + y) avec x = −t + 2 et y = −t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 3 sin(−x + y)x = −t + 2y = −t² − 1t = 2
dz/dt =
4.Moyen

z = 2 ln(x² + 4y²) avec x = 2t + 1 et y = 2t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = 2 ln(x² + 4y²)x = 2t + 1y = 2t² − 2t = 1
dz/dt =
5.Difficile
xy−202−4−202(1, −3)

f(x, y) = 2x² − xy + 3y² − 7x + 19y + 4 a un point critique en (1, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 2x² − xy + 3y² − 7x + 19y + 4P = (1, −3)
D =
6.Difficile
xy20,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = √(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fy(2, 1) = 236,4
  2. 2. fxy(1, 1) = −59,11
  3. 3. dz/dt = −2,553
  4. 4. dz/dt = 2,667
  5. 5. D = 23
  6. 6. I = 16,49

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