Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy2−1P

Pour f(x, y) = xey, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, −1).

f(x, y) = xeyP = (2, −1)
fy(2, −1) =
2.Facile
xyx = 2y = 222

Calculez I = ∫02 ∫02 (3x·e0,5y) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

f = 3x·e0,5y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 2
I =
3.Moyen

z = 4x²y + 4x² − 2y³ + 4xy avec x = −3t − 1 et y = 2t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 4x²y + 4x² − 2y³ + 4xyx = −3t − 1y = 2t² − 2t = 2
dz/dt =
4.Moyen
xy2−2∇fP

Pour f(x, y) = 2x²y − 5x³ − 2y³, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, −2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2x²y − 5x³ − 2y³P = (2, −2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−20202AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y
  1. 1A (1, 2)
  2. 2B (−1, 2)
6.Difficile
xyx = 1,5y = x1,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫y1,5 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fy(2, −1) = 0,7358
  2. 2. I = 20,62
  3. 3. dz/dt = 720
  4. 4. |∇f| = 77,67
  5. 5. B (−1, 2)
  6. 6. I = 0,389

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