1.Facile
Pour f(x, y) = −xy − 3x³ − 5y², trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 1).
f(x, y) = −xy − 3x³ − 5y²P = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé
2.Facile
Pour f(x, y) = −2x²ey, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 0,5).
f(x, y) = −2x²eyP = (−1, 0,5)
fxy(−1, 0.5) =
3.Moyen
Le plan tangent à z = −4x²y³ − 4x² − 3y² + 4xy au point où (x, y) = (2, 1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.
f(x, y) = −4x²y³ − 4x² − 3y² + 4xy(a, b) = (2, 1)
c =
4.Moyen
z = 2 sin(−3x + 2y) avec x = −3t − 1 et y = −t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.
z = 2 sin(−3x + 2y)x = −3t − 1y = −t² − 1t = 1
dz/dt =
5.Difficile
Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
6.Difficile
f(x, y) = x³ + y³ − 9xy a un point critique en (3, 3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².
f(x, y) = x³ + y³ − 9xyP = (3, 3)
D =
Corrigé
- 1. fxy(−1, 1) = −1
- 2. fxy(−1, 0.5) = 6,595
- 3. c = 75
- 4. dz/dt = −1,455
- 5. fmin = −32
- 6. D = 243
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