Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 4y = 2y = 12421

Calculez I = ∫24 ∫12 (3y) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2.

f = 3y2 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile
xy32P

Pour f(x, y) = xy³ + 4x² + 3y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (3, 2).

f(x, y) = xy³ + 4x² + 3y³ + 3xyP = (3, 2)
fy(3, 2) =
3.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = x³e0,5y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = x³e0,5yP = (2, 1)
|∇f| =
4.Moyen
xy13P

Le plan tangent à z = −4x²y − 4x³ − y² + 4xy au point où (x, y) = (1, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −4x²y − 4x³ − y² + 4xy(a, b) = (1, 3)
c =
5.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
6.Difficile
xyy = 3xy = x²39

Calculez I = ∬R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 3x.

y = x²y = 3xf = x
I =

Corrigé

  1. 1. I = 9
  2. 2. fy(3, 2) = 81
  3. 3. |∇f| = 20,85
  4. 4. c = 29
  5. 5. I = 0,25
  6. 6. I = 6,75

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