Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 2).

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = sin(−x − y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 1).

f(x, y) = sin(−x − y)P = (0,5, 1)
fy(0.5, 1) =
3.Moyen
xy−1−1P

Le plan tangent à z = 2 ln(x² + 4y²) au point où (x, y) = (−1, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)(a, b) = (−1, −1)
c =
4.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = −4x³y² + 3y² − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −4x³y² + 3y² − 3xyP = (−2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ + 3xy, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy
fmax =
6.Difficile
xyx = 3y = 0,5x31,5

Calculez I = ∬T (x + 3y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = 0,5x.

f = x + 3y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, 2) = 0,426
  2. 2. fy(0.5, 1) = −0,07074
  3. 3. c = −0,7811
  4. 4. |∇f| = 246
  5. 5. fmax = 1
  6. 6. I = 7,875

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