Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 3y = 1231

Calculez I = ∫23 ∫01 (−y + 6) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = −y + 62 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.Facile
xy22P

Pour f(x, y) = ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, 2).

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (2, 2)
fy(2, 2) =
3.Moyen
xy050vP

Pour f(x, y) = −3xy² + x³ + 3y² + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (3, 1) dans la direction de v = (3, −4).

f(x, y) = −3xy² + x³ + 3y² + 3xyP = (3, 1)v = (3, −4)
Duf =
4.Moyen
xy−10123−4−20PQ

Pour f(x, y) = 2xy² + x² + 5y² + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(1, −1) dans la direction de Q(0, −5).

f(x, y) = 2xy² + x² + 5y² + 2xyP = (1, −1)Q = (0, −5)
Duf =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
6.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y
  1. 1A (1, −2)
  2. 2B (−1, −2)

Corrigé

  1. 1. I = 5,5
  2. 2. fy(2, 2) = 0,5
  3. 3. Duf = 18,6
  4. 4. Duf = 11,16
  5. 5. fmin = −32
  6. 6. B (−1, −2)

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