Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −y·e−xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 0,5).

f(x, y) = −y·e−xyP = (2, 0,5)
fxy(2, 0.5) =
2.Facile
xy11P

Pour f(x, y) = −y·e2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 1).

f(x, y) = −y·e2xyP = (1, 1)
fx(1, 1) =
3.Moyen
xy−4−202−4−20PQ

Pour f(x, y) = −x²y + 4x² − 3y³ + xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, −2) dans la direction de Q(1, −5).

f(x, y) = −x²y + 4x² − 3y³ + xyP = (−1, −2)Q = (1, −5)
Duf =
4.Moyen

z = x²y³ − 5x² + y³ + 3xy avec x = −2t + 1 et y = −t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = x²y³ − 5x² + y³ + 3xyx = −2t + 1y = −t² + 1t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y. Cliquez sur le maximum local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y
  1. 1A (2, −2)
  2. 2B (−2, −2)
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 0.5) = 0,1839
  2. 2. fx(1, 1) = −14,78
  3. 3. Duf = 23,85
  4. 4. dz/dt = 78
  5. 5. A (2, −2)
  6. 6. fmin = −32

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