Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 0,5).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, 0,5)
fy(1, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3x²e0,5y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 0,5).

f(x, y) = 3x²e0,5yP = (−1, 0,5)
fxy(−1, 0.5) =
3.Moyen
xy−4−20−202PQ

Pour f(x, y) = −2xe−y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, −1) dans la direction de Q(−5, 2).

f(x, y) = −2xe−yP = (−1, −1)Q = (−5, 2)
Duf =
4.Moyen
xy−21P

Le plan tangent à z = −x²y + 5x³ − 4y² − 2xy au point où (x, y) = (−2, 1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −x²y + 5x³ − 4y² − 2xy(a, b) = (−2, 1)
c =
5.Difficile
xyx = 2y = x22

Calculez I = ∬T (x + 4y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 2 et y = x.

f = x + 4y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ x
I =
6.Difficile
xy20,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fy(1, 0.5) = 6
  2. 2. fxy(−1, 0.5) = −3,852
  3. 3. Duf = 1,087
  4. 4. c = 88
  5. 5. I = 8
  6. 6. I = 2,389

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