Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −xy³ − 4x² − 4y² + 4xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, −2).

f(x, y) = −xy³ − 4x² − 4y² + 4xyP = (1, −2)
fxy(1, −2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = x³e−y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, 2).

f(x, y) = x³e−yP = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
3.Moyen
xy−3−2−101−4−20PQ

Pour f(x, y) = −2x³y³ − 4x³ − 4y³ − 4xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, −1) dans la direction de Q(−2, −5).

f(x, y) = −2x³y³ − 4x³ − 4y³ − 4xyP = (−1, −1)Q = (−2, −5)
Duf =
4.Moyen
xy0,51∇fP

Pour f(x, y) = 3x³e0,5y, trouvez la direction de la plus forte montée en (0,5, 1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 3x³e0,5yP = (0,5, 1)
θ = °
5.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
6.Difficile
xyy = 0,8y = x0,80,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫x0,8 ey² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ey²0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, −2) = −8
  2. 2. fxy(0.5, 2) = −0,1015
  3. 3. Duf = 2,425
  4. 4. θ = 4,764 °
  5. 5. I = 0,4207
  6. 6. I = 0,4482

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