Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (1, 0,5)
fxy(1, 0.5) =
2.Facile
xy−32P

Pour f(x, y) = 4x³y³ + 4x³ + 5y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, 2).

f(x, y) = 4x³y³ + 4x³ + 5y³ − 2xyP = (−3, 2)
fy(−3, 2) =
3.Moyen
xy2−1∇fP

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (2, −1)
|∇f| =
4.Moyen
xy13P

Le plan tangent à z = −3xy − 2x² + 5y² au point où (x, y) = (1, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −3xy − 2x² + 5y²(a, b) = (1, 3)
c =
5.Difficile
xy1,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 2,25 dans le premier quadrant.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Difficile
xy31

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = √(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, 0.5) = −1,959
  2. 2. fy(−3, 2) = −1230
  3. 3. |∇f| = 3,09
  4. 4. c = −34
  5. 5. I = 0,7026
  6. 6. I = 54,45

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