Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −xy + x² + 4y³, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−2, −1).

f(x, y) = −xy + x² + 4y³P = (−2, −1)
fyy(−2, −1) =
2.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = 5 sin(3x + y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, −1).

f(x, y) = 5 sin(3x + y)P = (1, −1)
fy(1, −1) =
3.Moyen

z = 3 ln(x² + 2y²) avec x = −3t − 1 et y = t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = 3 ln(x² + 2y²)x = −3t − 1y = t² + 1t = −1
dz/dt =
4.Moyen
xy10,5∇fP

Pour f(x, y) = 5 sin(2x + 3y), trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 5 sin(2x + 3y)P = (1, 0,5)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−202(2, 0)(−2, 0)

f(x, y) = −x³ + 12x − y² a un point critique en (2, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 12x − y²P = (2, 0)
D =
6.Difficile
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ + 3xy, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy
fmax =

Corrigé

  1. 1. fyy(−2, −1) = −24
  2. 2. fy(1, −1) = −2,081
  3. 3. dz/dt = −7
  4. 4. |∇f| = 16,88
  5. 5. D = 24
  6. 6. fmax = 1

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