Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = sin(−2x + 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 0,5).

f(x, y) = sin(−2x + 2y)P = (2, 0,5)
fxy(2, 0.5) =
2.Facile
xy3−1P

Pour f(x, y) = 3x³y² + 2x³ − 4y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (3, −1).

f(x, y) = 3x³y² + 2x³ − 4y³ + 3xyP = (3, −1)
fy(3, −1) =
3.Moyen
xy20,5P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 2x³e3y en (2, 0,5) pour approcher f(2,2, 0,55). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 2x³e3y(a, b) = (2, 0,5)(x, y) = (2,2, 0,55)
L =
4.Moyen

z = 5xy³ + 4x² − y³ − 2xy avec x = −t − 2 et y = −2t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = 5xy³ + 4x² − y³ − 2xyx = −t − 2y = −2t²t = 1
dz/dt =
5.Difficile
xy0−4−202AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6y. Cliquez sur le maximum local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6y
  1. 1A (2, −3)
  2. 2B (−2, −3)
6.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 0.5) = −0,5645
  2. 2. fy(3, −1) = −165
  3. 3. L = 104
  4. 4. dz/dt = 804
  5. 5. A (2, −3)
  6. 6. I = 0,09895

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