Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−2−3P

Pour f(x, y) = 5x³y³ + 3x³ + 5y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, −3).

f(x, y) = 5x³y³ + 3x³ + 5y² + 2xyP = (−2, −3)
fx(−2, −3) =
2.Facile
xy2−2P

Pour f(x, y) = −4x³y² + 3x² + 3y³ + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, −2).

f(x, y) = −4x³y² + 3x² + 3y³ + xyP = (2, −2)
fx(2, −2) =
3.Moyen
xy3−1P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 5xy³ + 5x² − 2y² + xy en (3, −1) pour approcher f(3,05, −1,2). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 5xy³ + 5x² − 2y² + xy(a, b) = (3, −1)(x, y) = (3,05, −1,2)
L =
4.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = xy − x² + 2y², trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = xy − x² + 2y²P = (−2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−20−20(0, 0)(−2, −2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ + 6xy, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy
fmax =
6.Difficile
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y a un point critique en (−3, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6yP = (−3, −3)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(−2, −3) = −1590
  2. 2. fx(2, −2) = −182
  3. 3. L = 15,8
  4. 4. |∇f| = 8,485
  5. 5. fmax = 8
  6. 6. D = −36

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