Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −x²y² − x² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (2, 1).

f(x, y) = −x²y² − x² + 2xyP = (2, 1)
fyy(2, 1) =
2.Facile
xy21P

Pour f(x, y) = sin(3x + y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, 1).

f(x, y) = sin(3x + y)P = (2, 1)
fy(2, 1) =
3.Moyen
xy0,51∇fP

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (0,5, 1)
|∇f| =
4.Moyen
xy0505vP

Pour f(x, y) = −4xy + 2x² − 3y³, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (2, 3) dans la direction de v = (1, 4).

f(x, y) = −4xy + 2x² − 3y³P = (2, 3)v = (1, 4)
Duf =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (−2, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (−2, −2)
D =
6.Difficile
xyx = 4y = x44

Calculez I = ∬T (2x + 3y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 4 et y = x.

f = 2x + 3y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ x
I =

Corrigé

  1. 1. fyy(2, 1) = −8
  2. 2. fy(2, 1) = 0,7539
  3. 3. |∇f| = 3,665
  4. 4. Duf = −87,31
  5. 5. D = 2048
  6. 6. I = 74,67

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