Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−10,5P

Pour f(x, y) = x²e2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, 0,5).

f(x, y) = x²e2yP = (−1, 0,5)
fx(−1, 0.5) =
2.Facile
xy−1−1P

Pour f(x, y) = 2x³y² − 4x³ − 5y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, −1).

f(x, y) = 2x³y² − 4x³ − 5y³ + 4xyP = (−1, −1)
fy(−1, −1) =
3.Moyen
xy024−20vP

Pour f(x, y) = x³y³ − 3x² − 5y³ + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (1, −1) dans la direction de v = (4, −2).

f(x, y) = x³y³ − 3x² − 5y³ + 2xyP = (1, −1)v = (4, −2)
Duf =
4.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = −4x²y² − y² + 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −4x²y² − y² + 3xyP = (2, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y
fmax =

Corrigé

  1. 1. fx(−1, 0.5) = −5,437
  2. 2. fy(−1, −1) = −15
  3. 3. Duf = −5,367
  4. 4. |∇f| = 30,87
  5. 5. I = 1,542
  6. 6. fmax = 6

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