Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5x³y − 3x² + 2y² + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−1, −2).

f(x, y) = 5x³y − 3x² + 2y² + 3xyP = (−1, −2)
fyy(−1, −2) =
2.Facile
xy22P

Pour f(x, y) = −2x³y³ + 5x³ − 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, 2).

f(x, y) = −2x³y³ + 5x³ − 3xyP = (2, 2)
fx(2, 2) =
3.Moyen
xy12P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 2xy³ + 3x² − 3y³ − xy en (1, 2) pour approcher f(0,9, 1,9). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 2xy³ + 3x² − 3y³ − xy(a, b) = (1, 2)(x, y) = (0,9, 1,9)
L =
4.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = y·e3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (−1, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = y·e3xyP = (−1, −1)
θ = °
5.Difficile
xyy = xy = x²11

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = x.

y = x²y = xf = 1
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. fyy(−1, −2) = 4
  2. 2. fx(2, 2) = −138
  3. 3. L = −7,7
  4. 4. θ = 53,13 °
  5. 5. I = 0,1667
  6. 6. D = −256

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