Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −2x³y³ − 4x³ + 4y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (1, −1).

f(x, y) = −2x³y³ − 4x³ + 4y³ − 2xyP = (1, −1)
fxx(1, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2 sin(2x − 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, 2).

f(x, y) = 2 sin(2x − 2y)P = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
3.Moyen

z = 3x²y + 2x² − 3xy avec x = −2t + 2 et y = 2t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 3x²y + 2x² − 3xyx = −2t + 2y = 2t² − 1t = 2
dz/dt =
4.Moyen

z = 3 ln(x² + 4y²) avec x = −2t − 2 et y = 2t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = 3 ln(x² + 4y²)x = −2t − 2y = 2t²t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy−2002(−2, 2)

f(x, y) = 2x² + 2xy + 3y² + 4x − 8y a un point critique en (−2, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 2x² + 2xy + 3y² + 4x − 8yP = (−2, 2)
D =
6.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =

Corrigé

  1. 1. fxx(1, −1) = −12
  2. 2. fxy(0.5, 2) = −1,129
  3. 3. dz/dt = 370
  4. 4. dz/dt = −12
  5. 5. D = 20
  6. 6. I = 0,8591

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