Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,5−1P

Pour f(x, y) = 3y·e3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, −1).

f(x, y) = 3y·e3xyP = (0,5, −1)
fx(0.5, −1) =
2.Facile
xy0,5−1P

Pour f(x, y) = 2 sin(2x − y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, −1).

f(x, y) = 2 sin(2x − y)P = (0,5, −1)
fy(0.5, −1) =
3.Moyen
xy−4−20−202PQ

Pour f(x, y) = x³y³ + x² + 5y³ + 4xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−2, 1) dans la direction de Q(0, −3).

f(x, y) = x³y³ + x² + 5y³ + 4xyP = (−2, 1)Q = (0, −3)
Duf =
4.Moyen

z = 5 sin(−3x − 2y) avec x = 2t + 2 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 5 sin(−3x − 2y)x = 2t + 2y = −t² − 2t = 2
dz/dt =
5.Difficile
xy−20−2−101(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x² + 3xy + 3y² + 5x + 9y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x² + 3xy + 3y² + 5x + 9y
fmin =
6.Difficile
xy1,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 2,25 dans le premier quadrant.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. fx(0.5, −1) = 2,008
  2. 2. fy(0.5, −1) = 0,8323
  3. 3. Duf = 20,57
  4. 4. dz/dt = 9,602
  5. 5. fmin = −7
  6. 6. I = 0,7026

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