Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 2y·exy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 1).

f(x, y) = 2y·exyP = (0,5, 1)
fx(0.5, 1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = x²y² − 4y³ − xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−2, −1).

f(x, y) = x²y² − 4y³ − xyP = (−2, −1)
fyy(−2, −1) =
3.Moyen
xy−2024−4−20vP

Pour f(x, y) = −x²y + 2x² − 4y³ − 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (1, −2) dans la direction de v = (−4, 0).

f(x, y) = −x²y + 2x² − 4y³ − 3xyP = (1, −2)v = (−4, 0)
Duf =
4.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = 3x³y + x³ + 4y² − 4xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, 1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 3x³y + x³ + 4y² − 4xyP = (2, 1)
θ = °
5.Difficile
xyy = 1,2y = x1,21,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫x1,2 ey² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ey²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,2
I =
6.Difficile
xy−50−4−202(0, 0)(−3, −3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ + 9xy, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy
fmax =

Corrigé

  1. 1. fx(0.5, 1) = 3,297
  2. 2. fyy(−2, −1) = 32
  3. 3. Duf = −14
  4. 4. θ = 28,61 °
  5. 5. I = 1,61
  6. 6. fmax = 27

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