Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −4x³y + x³ + 3y² + xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −2).

f(x, y) = −4x³y + x³ + 3y² + xyP = (2, −2)
fxy(2, −2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 2).

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (2, 2)
fxy(2, 2) =
3.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = −3xy³ − x² − 5y² + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −3xy³ − x² − 5y² + 2xyP = (2, 1)
|∇f| =
4.Moyen

z = 2x²y² − 2x³ + 4y² − 2xy avec x = t + 1 et y = t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 2x²y² − 2x³ + 4y² − 2xyx = t + 1y = t² − 2t = 2
dz/dt =
5.Difficile
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 3xyP = (0, 0)
D =
6.Difficile
xyx = 1y = 0,5x10,5

Calculez I = ∬T (2x + 3y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 1 et y = 0,5x.

f = 2x + 3y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, −2) = −47
  2. 2. fxy(2, 2) = −0,5
  3. 3. |∇f| = 24,52
  4. 4. dz/dt = 318
  5. 5. D = −9
  6. 6. I = 0,4583

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