Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,50,5P

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (0,5, 0,5)
fy(0.5, 0.5) =
2.Facile
xy22P

Pour f(x, y) = 2x²y² + 4x² − y² − 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, 2).

f(x, y) = 2x²y² + 4x² − y² − 4xyP = (2, 2)
fx(2, 2) =
3.Moyen
xy12P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 3xy² + 2x³ − 3y³ + xy en (1, 2) pour approcher f(1,1, 1,9). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 3xy² + 2x³ − 3y³ + xy(a, b) = (1, 2)(x, y) = (1,1, 1,9)
L =
4.Moyen
xy−23P

Le plan tangent à z = −xy³ + 3x³ − 4y³ − 4xy au point où (x, y) = (−2, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −xy³ + 3x³ − 4y³ − 4xy(a, b) = (−2, 3)
c =
5.Difficile
xyx = 1,2y = x1,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫y1,2 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,2
I =
6.Difficile
xyy = 4xy = x²416

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 4x.

y = x²y = 4xf = 1
I =

Corrigé

  1. 1. fy(0.5, 0.5) = 3,2
  2. 2. fx(2, 2) = 40
  3. 3. L = −3,7
  4. 4. c = 78
  5. 5. I = 0,4957
  6. 6. I = 10,67

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