Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 3y = 4y = 1341

Calculez I = ∫03 ∫14 (x·e−y) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4.

f = x·e−y0 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −1).

f(x, y) = 2y·e2xyP = (2, −1)
fxy(2, −1) =
3.Moyen
xy0,50,5∇fP

Pour f(x, y) = 5 sin(−x + 2y), trouvez la direction de la plus forte montée en (0,5, 0,5) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 5 sin(−x + 2y)P = (0,5, 0,5)
θ = °
4.Moyen
xy−21∇fP

Pour f(x, y) = −3xy + 5x³ − 2y², trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −3xy + 5x³ − 2y²P = (−2, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−2−101(1, −1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y
fmax =
6.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y. Cliquez sur le maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y
  1. 1A (1, −2)
  2. 2B (−1, −2)

Corrigé

  1. 1. I = 1,573
  2. 2. fxy(2, −1) = 0,1465
  3. 3. θ = 116,6 °
  4. 4. |∇f| = 57,04
  5. 5. fmax = 3
  6. 6. A (1, −2)

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