Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 4y = 3143

Calculez I = ∫14 ∫03 (3x²y²) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 3x²y²1 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile
xy−1−1P

Pour f(x, y) = 5 sin(−x − 2y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, −1).

f(x, y) = 5 sin(−x − 2y)P = (−1, −1)
fy(−1, −1) =
3.Moyen
xy12∇fP

Pour f(x, y) = 4x²y² − x² + 3y², trouvez la direction de la plus forte montée en (1, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 4x²y² − x² + 3y²P = (1, 2)
θ = °
4.Moyen
xy2−1∇fP

Pour f(x, y) = 5x³y³ − x² + 4y² − 2xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 5x³y³ − x² + 4y² − 2xyP = (2, −1)
θ = °
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 1.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =

Corrigé

  1. 1. I = 567
  2. 2. fy(−1, −1) = 9,9
  3. 3. θ = 43,03 °
  4. 4. θ = 119,9 °
  5. 5. I = 1,986
  6. 6. I = 1,542

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