Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy1−3P

Pour f(x, y) = −xy² − 5x³ + 4y² − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, −3).

f(x, y) = −xy² − 5x³ + 4y² − xyP = (1, −3)
fx(1, −3) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2x²e0,5y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, −1).

f(x, y) = 2x²e0,5yP = (1, −1)
fxy(1, −1) =
3.Moyen
xy33P

Le plan tangent à z = 5x²y³ − 3x³ + 5y² − 2xy au point où (x, y) = (3, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 5x²y³ − 3x³ + 5y² − 2xy(a, b) = (3, 3)
c =
4.Moyen
xy05024vP

Pour f(x, y) = −4x²y³ − 4x³ + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (3, 2) dans la direction de v = (0, −1).

f(x, y) = −4x²y³ − 4x³ + 3xyP = (3, 2)v = (0, −1)
Duf =
5.Difficile
xyy = 2xy = x²24

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = 1
I =
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 9.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fx(1, −3) = −21
  2. 2. fxy(1, −1) = 1,213
  3. 3. c = −4725
  4. 4. Duf = 423
  5. 5. I = 1,333
  6. 6. I = 3,141

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