Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−22P

Pour f(x, y) = x²y + 3x² + 4y² − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, 2).

f(x, y) = x²y + 3x² + 4y² − 2xyP = (−2, 2)
fx(−2, 2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2x³ey, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −1).

f(x, y) = 2x³eyP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
3.Moyen
xy024024PQ

Pour f(x, y) = sin(3x + y), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, 2) dans la direction de Q(5, 2).

f(x, y) = sin(3x + y)P = (2, 2)Q = (5, 2)
Duf =
4.Moyen
xy−4−202024PQ

Pour f(x, y) = 2y·e2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, 2) dans la direction de Q(−4, −1).

f(x, y) = 2y·e2xyP = (−1, 2)Q = (−4, −1)
Duf =
5.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 9.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy−202−2024(1, 3)(−1, 3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y
fmax =

Corrigé

  1. 1. fx(−2, 2) = −24
  2. 2. fxy(−1, −1) = 2,207
  3. 3. Duf = −0,4365
  4. 4. Duf = −0,1295
  5. 5. I = 56,55
  6. 6. fmax = 11

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