Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −xy² − 2x² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (−1, 1).

f(x, y) = −xy² − 2x² + 2xyP = (−1, 1)
fxx(−1, 1) =
2.Facile
xy−1−1P

Pour f(x, y) = −x³y + 3x³ − 3y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, −1).

f(x, y) = −x³y + 3x³ − 3y³ + 4xyP = (−1, −1)
fx(−1, −1) =
3.Moyen
xy−2−2P

Le plan tangent à z = 5x³y² + 2x² − 4y³ au point où (x, y) = (−2, −2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 5x³y² + 2x² − 4y³(a, b) = (−2, −2)
c =
4.Moyen
xy22P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 3y·exy en (2, 2) pour approcher f(2,05, 2,2). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 3y·exy(a, b) = (2, 2)(x, y) = (2,05, 2,2)
L =
5.Difficile
xyx = 3y = x33

Calculez I = ∬T (2x + 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = x.

f = 2x + 2y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ x
I =
6.Difficile
xy20,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxx(−1, 1) = −4
  2. 2. fx(−1, −1) = 8
  3. 3. c = 568
  4. 4. L = 524,1
  5. 5. I = 27
  6. 6. I = 2,389

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