Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 5y³, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 1).

f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 5y³P = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 2y·e−xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 0,5).

f(x, y) = 2y·e−xyP = (1, 0,5)
fy(1, 0.5) =
3.Moyen

z = ln(x² + 4y²) avec x = −2t − 2 et y = −t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = ln(x² + 4y²)x = −2t − 2y = −t² + 1t = 1
dz/dt =
4.Moyen
xy12∇fP

Pour f(x, y) = −xy² + 4x² − 5y³ + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −xy² + 4x² − 5y³ + 2xyP = (1, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−2024(1, 3)

f(x, y) = 3x² − xy + y² − 3x − 5y + 5 a un point critique en (1, 3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 3x² − xy + y² − 3x − 5y + 5P = (1, 3)
D =
6.Difficile
xy−202−20(2, −2)(−2, −2)

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4y a un point critique en (2, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4yP = (2, −2)
D =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 1) = 12
  2. 2. fy(1, 0.5) = 0,6065
  3. 3. dz/dt = 1
  4. 4. |∇f| = 62,51
  5. 5. D = 11
  6. 6. D = 24

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