Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 4xy³ − 5x³ − 2y² + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −1).

f(x, y) = 4xy³ − 5x³ − 2y² + 3xyP = (2, −1)
fxy(2, −1) =
2.Facile
xy−31P

Pour f(x, y) = 2x³y − 3x³ − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, 1).

f(x, y) = 2x³y − 3x³ − xyP = (−3, 1)
fy(−3, 1) =
3.Moyen
xy0,5−1P

Le plan tangent à z = ln(x² + 3y²) au point où (x, y) = (0,5, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = ln(x² + 3y²)(a, b) = (0,5, −1)
c =
4.Moyen
xy02402vP

Pour f(x, y) = 2x³ey, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (0,5, 0,5) dans la direction de v = (4, 2).

f(x, y) = 2x³eyP = (0,5, 0,5)v = (4, 2)
Duf =
5.Difficile
xy0−4−202(2, −3)(−2, −3)

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y a un point critique en (2, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6yP = (2, −3)
D =
6.Difficile
xy0202AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ − 6xy. Cliquez sur le minimum local.

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (2, 2)

Corrigé

  1. 1. fxy(2, −1) = 15
  2. 2. fy(−3, 1) = −51
  3. 3. c = −0,8213
  4. 4. Duf = 2,396
  5. 5. D = 24
  6. 6. B (2, 2)

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