Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5xy² + 5x² + 2y² − 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (2, −1).

f(x, y) = 5xy² + 5x² + 2y² − 3xyP = (2, −1)
fxx(2, −1) =
2.Facile
xyx = 1x = 3y = 3y = 21332

Calculez I = ∫13 ∫23 (4x²y) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3.

f = 4x²y1 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen

z = −3x²y + x² + 3y³ − 2xy avec x = t + 2 et y = t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = −3x²y + x² + 3y³ − 2xyx = t + 2y = t² − 1t = 2
dz/dt =
4.Moyen
xy31∇fP

Pour f(x, y) = 5x³y² + x² − 5y³, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 5x³y² + x² − 5y³P = (3, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy a un point critique en (1, 1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)
D =
6.Difficile
xy−202−2024(1, 3)(−1, 3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y
fmin =

Corrigé

  1. 1. fxx(2, −1) = 10
  2. 2. I = 86,67
  3. 3. dz/dt = 30
  4. 4. |∇f| = 291,4
  5. 5. D = 27
  6. 6. fmin = −11

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