Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2y = 2y = 1221

Calculez I = ∫02 ∫12 (x·e−y) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.

f = x·e−y0 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 0,5).

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (1, 0,5)
fy(1, 0.5) =
3.Moyen
xy12P

Le plan tangent à z = 3xy − x² + y³ au point où (x, y) = (1, 2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 3xy − x² + y³(a, b) = (1, 2)
c =
4.Moyen
xy2−1P

Le plan tangent à z = 2 sin(−3x + 3y) au point où (x, y) = (2, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2 sin(−3x + 3y)(a, b) = (2, −1)
c =
5.Difficile
xyx = 1,2y = x1,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫y1,2 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,2
I =
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R x dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 9 dans le premier quadrant.

f = x0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. I = 0,4651
  2. 2. fy(1, 0.5) = 1,6
  3. 3. c = −21
  4. 4. c = −17,22
  5. 5. I = 0,4348
  6. 6. I = 9

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