Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 3 sin(−2x − 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 0,5).

f(x, y) = 3 sin(−2x − 2y)P = (2, 0,5)
fxy(2, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3x²y³ − 2x³ + 3y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −1).

f(x, y) = 3x²y³ − 2x³ + 3y³ + 4xyP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
3.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = −2x²y³ + 3x³ + 5y³ − 3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (−1, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = −2x²y³ + 3x³ + 5y³ − 3xyP = (−1, −1)
θ = °
4.Moyen

z = 2 sin(3x + 2y) avec x = 2t + 1 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = 2 sin(3x + 2y)x = 2t + 1y = −t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 1.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xyy = 3xy = x²39

Calculez I = ∬R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 3x.

y = x²y = 3xf = x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 0.5) = −11,51
  2. 2. fxy(−1, −1) = −14
  3. 3. θ = 56,31 °
  4. 4. dz/dt = −18,22
  5. 5. I = 1,571
  6. 6. I = 6,75

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