Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 1).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, 1)
fxy(1, 1) =
2.Facile
xyx = 3y = 3y = 2332

Calculez I = ∫03 ∫23 (2x·e−y) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3.

f = 2x·e−y0 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy024−20PQ

Pour f(x, y) = ln(x² + y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, −1) dans la direction de Q(4, −2).

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (2, −1)Q = (4, −2)
Duf =
4.Moyen
xy−1−1P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −2x²y − 2x³ + 5y³ + 4xy en (−1, −1) pour approcher f(−0,8, −0,8). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −2x²y − 2x³ + 5y³ + 4xy(a, b) = (−1, −1)(x, y) = (−0,8, −0,8)
L =
5.Difficile
xy02−101(1, 0)

f(x, y) = x² − 3xy + y² − 2x + 3y + 1 a un point critique en (1, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x² − 3xy + y² − 2x + 3y + 1P = (1, 0)
D =
6.Difficile
xyx = 1y = 0,5x10,5

Calculez I = ∬T (2x) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 1 et y = 0,5x.

f = 2x0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, 1) = −1,92
  2. 2. I = 0,7699
  3. 3. Duf = 0,8944
  4. 4. L = 2
  5. 5. D = −5
  6. 6. I = 0,3333

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