Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,50,5P

Pour f(x, y) = 3y·exy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 0,5).

f(x, y) = 3y·exyP = (0,5, 0,5)
fy(0.5, 0.5) =
2.Facile
xyx = 2x = 4y = 3243

Calculez I = ∫24 ∫03 (2xy + 2) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 2xy + 22 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy3−1P

Le plan tangent à z = −x²y³ + 5x² − y³ au point où (x, y) = (3, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −x²y³ + 5x² − y³(a, b) = (3, −1)
c =
4.Moyen
xy2−1∇fP

Pour f(x, y) = 2xy³ + 5x³ + 4y² + 3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 2xy³ + 5x³ + 4y² + 3xyP = (2, −1)
θ = °
5.Difficile
xy−2024−4−202(2, −3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = 3x² + 3xy + 2y² − 3x + 6y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = 3x² + 3xy + 2y² − 3x + 6y
fmin =
6.Difficile
xy−20−20(0, 0)(−2, −2)

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 6xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. fy(0.5, 0.5) = 4,815
  2. 2. I = 66
  3. 3. c = −83
  4. 4. θ = 10,3 °
  5. 5. fmin = −12
  6. 6. D = −36

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