1.Facile
Pour f(x, y) = 4x³y³ − 3y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−2, −1).
f(x, y) = 4x³y³ − 3y² + 2xyP = (−2, −1)
fxy(−2, −1) =
Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé
2.Facile
Calculez I = ∫23 ∫13 (3xy + 5) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3.
f = 3xy + 52 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²), trouvez la direction de la plus forte montée en (1, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.
f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (1, 2)
θ = °
4.Moyen
Le plan tangent à z = −2x³y − 2x³ + 5y² − 4xy au point où (x, y) = (1, 1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.
f(x, y) = −2x³y − 2x³ + 5y² − 4xy(a, b) = (1, 1)
c =
5.Difficile
Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 9.
f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.
f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =
Corrigé
- 1. fxy(−2, −1) = 146
- 2. I = 40
- 3. θ = 80,54 °
- 4. c = 9
- 5. I = 3,141
- 6. fmin = −27
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