Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,52P

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 2).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (0,5, 2)
fy(0.5, 2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = xy − 2x² − 5y², trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (2, 2).

f(x, y) = xy − 2x² − 5y²P = (2, 2)
fyy(2, 2) =
3.Moyen
xy22∇fP

Pour f(x, y) = 3x³y³ − 4x² − 3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 3x³y³ − 4x² − 3xyP = (2, 2)
θ = °
4.Moyen
xy22∇fP

Pour f(x, y) = −x³y + 2xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = −x³y + 2xyP = (2, 2)
θ = °
5.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 4 dans le premier quadrant.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 cos(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fy(0.5, 2) = 2,954
  2. 2. fyy(2, 2) = −10
  3. 3. θ = 46,67 °
  4. 4. θ = −168,7 °
  5. 5. I = 4,189
  6. 6. I = 0,389

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