Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy11P

Pour f(x, y) = 2x²y² + 4x² + 5y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 1).

f(x, y) = 2x²y² + 4x² + 5y³ − 2xyP = (1, 1)
fy(1, 1) =
2.Facile
xy−2−2P

Pour f(x, y) = xy³ − 5x³ − 3y² + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−2, −2).

f(x, y) = xy³ − 5x³ − 3y² + xyP = (−2, −2)
fy(−2, −2) =
3.Moyen
xy13P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 5x³y − 5x³ − y² en (1, 3) pour approcher f(1,05, 3,2). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 5x³y − 5x³ − y²(a, b) = (1, 3)(x, y) = (1,05, 3,2)
L =
4.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = 3xe0,5y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3xe0,5yP = (−1, −1)
|∇f| =
5.Difficile
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y a un point critique en (−3, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6yP = (−3, −3)
D =
6.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =

Corrigé

  1. 1. fy(1, 1) = 17
  2. 2. fy(−2, −2) = −14
  3. 3. L = 2,3
  4. 4. |∇f| = 2,034
  5. 5. D = −36
  6. 6. I = 0,4

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