1.Facile
Pour f(x, y) = −x²y² + 2x³ + 5y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (3, 2).
f(x, y) = −x²y² + 2x³ + 5y² + 2xyP = (3, 2)
fy(3, 2) =
Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé
2.Facile
Pour f(x, y) = 3 sin(x − y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, −1).
f(x, y) = 3 sin(x − y)P = (0,5, −1)
fxy(0.5, −1) =
3.Moyen
Le plan tangent à z = xy³ − 4x³ − y² au point où (x, y) = (2, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.
f(x, y) = xy³ − 4x³ − y²(a, b) = (2, 3)
c =
4.Moyen
Pour f(x, y) = 2x²y² − 3y², trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 3), c’est-à-dire |∇f|.
f(x, y) = 2x²y² − 3y²P = (1, 3)
|∇f| =
5.Difficile
Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).
f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
L’intégrale I = ∫01 ∫y1 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.
f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
Corrigé
- 1. fy(3, 2) = −10
- 2. fxy(0.5, −1) = 2,992
- 3. c = −89
- 4. |∇f| = 36,5
- 5. I = 0,9929
- 6. I = 0,8591
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