Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 3 sin(2x − 3y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −1).

f(x, y) = 3 sin(2x − 3y)P = (2, −1)
fxy(2, −1) =
2.Facile
xyx = 1x = 2y = 5y = 21252

Calculez I = ∫12 ∫25 (4x²y² + 1) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 4x²y² + 11 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
3.Moyen
xy−4−202−4−20vP

Pour f(x, y) = x²y + 2x³ + 3y² − 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −2) dans la direction de v = (−1, −1).

f(x, y) = x²y + 2x³ + 3y² − 3xyP = (−1, −2)v = (−1, −1)
Duf =
4.Moyen
xy2−1P

Le plan tangent à z = 2xy − x² − 4y² au point où (x, y) = (2, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2xy − x² − 4y²(a, b) = (2, −1)
c =
5.Difficile
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y
fmin =
6.Difficile
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y², classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y²
fmax =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, −1) = 11,83
  2. 2. I = 367
  3. 3. Duf = −5,657
  4. 4. c = 12
  5. 5. fmin = −63
  6. 6. fmax = 2

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