Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 2y = 1121

Calculez I = ∫12 ∫01 (−3xy + 6) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

f = −3xy + 61 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 1
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = −x²y² + x² − 4y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (2, −2).

f(x, y) = −x²y² + x² − 4y³ + 3xyP = (2, −2)
fyy(2, −2) =
3.Moyen
xy02012vP

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en (1, 1) dans la direction de v = (−2, 1).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (1, 1)v = (−2, 1)
Duf =
4.Moyen

z = x²y² + 5x³ + y³ + 4xy avec x = −2t + 2 et y = 2t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = x²y² + 5x³ + y³ + 4xyx = −2t + 2y = 2t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (−1, −1)
  3. 3C (1, 1)
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 9 dans le premier quadrant.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. I = 3,75
  2. 2. fyy(2, −2) = 40
  3. 3. Duf = 0,3578
  4. 4. dz/dt = −544
  5. 5. A (0, 0)
  6. 6. I = 31,81

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