Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 5y = 3y = 12531

Calculez I = ∫25 ∫13 (2x·ey) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 2x·ey2 ≤ x ≤ 51 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile
xy−3−3P

Pour f(x, y) = −xy − 2x³ − 4y², trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−3, −3).

f(x, y) = −xy − 2x³ − 4y²P = (−3, −3)
fx(−3, −3) =
3.Moyen
xy02−202PQ

Pour f(x, y) = sin(−3x + y), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(0,5, 0,5) dans la direction de Q(2,5, −2,5).

f(x, y) = sin(−3x + y)P = (0,5, 0,5)Q = (2,5, −2,5)
Duf =
4.Moyen
xy−4−20−4−20vP

Pour f(x, y) = −2x²y³ − 3x² − 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−2, −2) dans la direction de v = (1, 3).

f(x, y) = −2x²y³ − 3x² − 2xyP = (−2, −2)v = (1, 3)
Duf =
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 1 dans le premier quadrant.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =

Corrigé

  1. 1. I = 364,7
  2. 2. fx(−3, −3) = −51
  3. 3. Duf = −1,349
  4. 4. Duf = −102,5
  5. 5. I = 0,5236
  6. 6. I = 0,4482

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