Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −1).

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
2.Facile
xyx = 1x = 4y = 3y = 21432

Calculez I = ∫14 ∫23 (−3y − 4) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3.

f = −3y − 41 ≤ x ≤ 42 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy−13∇fP

Pour f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 4y³ + 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 3), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 4xy³ − 5x³ + 4y³ + 4xyP = (−1, 3)
|∇f| =
4.Moyen

z = xy³ − 3x² − 2y² + 2xy avec x = −3t − 2 et y = −2t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = xy³ − 3x² − 2y² + 2xyx = −3t − 2y = −2t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy a un point critique en (1, 1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (1, 1)
D =

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, −1) = −2
  2. 2. I = −34,5
  3. 3. |∇f| = 105,1
  4. 4. dz/dt = 498
  5. 5. I = 0,4
  6. 6. D = 128

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