Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile
xyx = 2x = 4y = 3243

Calculez I = ∫24 ∫03 (2x·e−y) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 2x·e−y2 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 1).

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (1, 1)
fxy(1, 1) =
3.Moyen
xy024024PQ

Pour f(x, y) = sin(−2x − 2y), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(1, 1) dans la direction de Q(4, 5).

f(x, y) = sin(−2x − 2y)P = (1, 1)Q = (4, 5)
Duf =
4.Moyen
xy10,5P

Le plan tangent à z = ln(x² + 2y²) au point où (x, y) = (1, 0,5) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = ln(x² + 2y²)(a, b) = (1, 0,5)
c =
5.Difficile
xy−505−4−202(3, −2)(−3, −2)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y a un point critique en (−3, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4yP = (−3, −2)
D =
6.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =

Corrigé

  1. 1. I = 11,4
  2. 2. fxy(1, 1) = −1
  3. 3. Duf = 1,83
  4. 4. c = −1,595
  5. 5. D = −36
  6. 6. I = 1,542

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