Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −2xe−y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 2).

f(x, y) = −2xe−yP = (1, 2)
fxy(1, 2) =
2.Facile
xy−10,5P

Pour f(x, y) = 2xe0,5y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, 0,5).

f(x, y) = 2xe0,5yP = (−1, 0,5)
fx(−1, 0.5) =
3.Moyen
xy3−1∇fP

Pour f(x, y) = −4x³y + 4x² + y² − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −4x³y + 4x² + y² − 3xyP = (3, −1)
|∇f| =
4.Moyen
xy3−1P

Le plan tangent à z = −4x³y³ + x³ + 5y³ − 2xy au point où (x, y) = (3, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −4x³y³ + x³ + 5y³ − 2xy(a, b) = (3, −1)
c =
5.Difficile
xy10,25

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 0,0625 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = x² + y²0,25 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy31

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = √(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, 2) = 0,2707
  2. 2. fx(−1, 0.5) = 2,568
  3. 3. |∇f| = 180
  4. 4. c = −590
  5. 5. I = 1,565
  6. 6. I = 54,45

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