Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = x³y − 4x² + 5y² + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, −1).

f(x, y) = x³y − 4x² + 5y² + xyP = (1, −1)
fx(1, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 0,5).

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (−1, 0,5)
fxy(−1, 0.5) =
3.Moyen
xy2−1P

Le plan tangent à z = −3x²y³ − x² − y³ + xy au point où (x, y) = (2, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −3x²y³ − x² − y³ + xy(a, b) = (2, −1)
c =
4.Moyen

z = 5x²y² − 3x³ − 5y² − 4xy avec x = −2t − 1 et y = t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 5x²y² − 3x³ − 5y² − 4xyx = −2t − 1y = t² + 1t = 0
dz/dt =
5.Difficile
xy−202−20(2, −2)(−2, −2)

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4y a un point critique en (2, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4yP = (2, −2)
D =
6.Difficile
xyy = 3xy = x²39

Calculez I = ∬R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 3x.

y = x²y = 3xf = x
I =

Corrigé

  1. 1. fx(1, −1) = −12
  2. 2. fxy(−1, 0.5) = 5,878
  3. 3. c = −44
  4. 4. dz/dt = 46
  5. 5. D = 24
  6. 6. I = 6,75

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