Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 3y = 4y = 21342

Calculez I = ∫13 ∫24 (x²y² − 4) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 4.

f = x²y² − 41 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile
xy0,52P

Pour f(x, y) = sin(2x − 2y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 2).

f(x, y) = sin(2x − 2y)P = (0,5, 2)
fx(0.5, 2) =
3.Moyen
xy−10,5P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 2 sin(−2x + 3y) en (−1, 0,5) pour approcher f(−1,1, 0,6). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 2 sin(−2x + 3y)(a, b) = (−1, 0,5)(x, y) = (−1,1, 0,6)
L =
4.Moyen
xy22∇fP

Pour f(x, y) = 4x²y² + 3y² − 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 4x²y² + 3y² − 4xyP = (2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

f(x, y) = x³ − 3x + y² a un point critique en (−1, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 3x + y²P = (−1, 0)
D =
6.Difficile
xyx = 3y = 2x36

Calculez I = ∬T (4x + 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = 2x.

f = 4x + 2y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2x
I =

Corrigé

  1. 1. I = 145,8
  2. 2. fx(0.5, 2) = −1,98
  3. 3. L = −1,638
  4. 4. |∇f| = 88,09
  5. 5. D = −12
  6. 6. I = 108

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